Я тут на досуге разломал теорему Гёделя, а собрать обратно не могу. Помогите, пожалуйста, понять, в чём дело.
Всё началось с того, что благородный
fregimus затеял цикл постов про теорему Гёделя на пальцах. Там в комментах и развернулся разговор с моим приятелем, который привёл к вышеописанному.
Вот он. Или же можно начать читать с
самого начала ветки, там чуть более подробно про "истинность" и "выводимость".
Суть теоремы и построений Гёделя напоминать не буду, сразу перейду к делу. Возражение моё состоит в следующем.
В нашем "окружающем мире" существуют формально правильные утверждения, для которых нельзя определить, истинны они или ложны. Например, всем известный Парадокс Лжеца (утверждение Y, состоящее в том, что "фраза Y - ложна") и все его производные, включающие несколько зацикленных на себя утверждений. Например, пара утверждений Y' и Y" ( Y': "Утверждение Y" истинно"; Y": "Утверждение Y' ложно" ). Как легко заметить, все эти утверждения - самоссылающиеся, и Закон Исключённого Третьего для них не выполняется.
Далее, есть у нас такой интуитивный способ доказательства, называемый "приведение к противоречию" или "от противного". Он неявно опирается на применимость закона исключённого третьего к выдвигаемому в этом способе предпложению. Таким образом, этот способ нельзя использовать в отношении самоссылающихся объектов.
А теперь к Гёделю. Суть доказательства Гёделя состоит в том, что он строит Формальную Систему и находит в ней утверждение, содержательно говорящее об этой самой системе - утверждение G. Очевидно, что G - самоссылающееcя утверждение.
И в ходе финального шага своего доказательства Гёдель использует способ "от противного". Но как мы ранее видели, его применять к самоссылающимся утверждениям нельзя. Поэтому доказательство Гёделя не имеет силы. Про истинность или ложность G ничего нельзя сказать.
* * *
Так в чём тут дело? Требуется помощь зала :)
PS. Есть ещё такое соображение, что если в Формальной Системе Гёделя завести закон исключённого третьего, то он будет эквивалентен утверждению, что для любого утверждения выводимо либо оно само, либо его отрицание, т.е. тому, что ФС полна.
PS2. Есть ещё такое предположение, что G в некотором смысле эквивалентна Y.